上海安世亞太結(jié)構(gòu)高級(jí)應(yīng)用工程師

陳科夫

(資料圖片)

1.引言

工程結(jié)構(gòu)中有很多構(gòu)件可以看作桿件，即一個(gè)方向的尺寸遠(yuǎn)大于另外兩個(gè)方向的尺寸。此類構(gòu)件受壓時(shí)即為壓桿。對(duì)于大柔度桿，通常臨界壓應(yīng)力小于彈性極限，即發(fā)生彈性失穩(wěn)。

通常，我們會(huì)利用有限元法進(jìn)行壓桿的特征值屈曲分析。壓桿的特征值屈曲分析屬于線性分析。特征值屈曲分析得到的是屈曲載荷和相應(yīng)的失穩(wěn)模態(tài)，分析簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，在實(shí)際工程中應(yīng)用大。

PERA SIM Mechanical是安世亞太自主開發(fā)的一款機(jī)械仿真分析軟件，基于PERA SIM通用仿真軟件架構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn)與流體、電磁、聲學(xué)等物理場(chǎng)的耦合分析計(jì)算。PERA SIM Mechanical求解器可以完成如下分析功能：結(jié)構(gòu)靜力學(xué)分析、模態(tài)分析、瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析、諧響應(yīng)分析、反應(yīng)譜分析、屈曲分析、隨機(jī)振動(dòng)分析、熱分析(穩(wěn)態(tài)+瞬態(tài))以及并行計(jì)算。

本文借助結(jié)構(gòu)有限元軟件中的屈曲分析模塊完成了壓桿特征值屈曲分析，展現(xiàn)了軟件豐富的操作功能，并且與國(guó)際成熟軟件的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了計(jì)算的準(zhǔn)確性，為學(xué)者和工程師提供了特征值屈曲分析的一種新方法。

2.特征值屈曲分析方法簡(jiǎn)介

2.1 壓桿失穩(wěn)現(xiàn)象

讓我們回憶一下幾類關(guān)于平衡的概念：穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡以及條件穩(wěn)定平衡。

穩(wěn)定平衡：凡能在被移動(dòng)離開它的平衡位置后，仍試圖恢復(fù)其原來(lái)位置，從而恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)的物體，它原來(lái)的平衡狀態(tài)叫“穩(wěn)定平衡”。

不穩(wěn)定平衡：處于平衡狀態(tài)的物體，由于受到某種外界微小的作用，如果物體稍有偏離就不能恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，這種情況叫“不穩(wěn)定平衡”。

條件穩(wěn)定平衡：在一定條件下，可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定平衡；否則，則處于不穩(wěn)定平衡。

構(gòu)件的穩(wěn)定性是指構(gòu)件在外力作用下保持其原有平衡狀態(tài)的能力。平衡形式的突然變化稱為穩(wěn)定失效，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)或屈曲。因此，屈曲問題本質(zhì)上是平衡性問題。一般的，如拉桿或內(nèi)壓圓筒，呈現(xiàn)穩(wěn)定平衡；如壓桿或外壓圓筒，呈現(xiàn)條件平衡。

此處，特別討論受壓桿件的穩(wěn)定性問題。受壓應(yīng)力作用的結(jié)構(gòu)，當(dāng)受到外界擾動(dòng)時(shí)，隨著壓應(yīng)力的增大，會(huì)突然喪失原有幾何形狀而失穩(wěn)。對(duì)應(yīng)的壓應(yīng)力為臨界壓應(yīng)力，對(duì)應(yīng)的載荷為臨界載荷。擾動(dòng)是普遍存在的，如材料不均勻缺陷，成形制造幾何缺陷等。因此失穩(wěn)(又稱屈曲)對(duì)于受壓應(yīng)力的構(gòu)件而言是內(nèi)在的特性。為了防止屈曲失效，需確定結(jié)構(gòu)的臨界載荷或臨界壓應(yīng)力，使實(shí)際載荷或壓應(yīng)力小于許用值。

當(dāng)構(gòu)件失穩(wěn)時(shí)，一種內(nèi)在的本質(zhì)是原本沿截面厚度均勻分布的壓應(yīng)力，隨著變形的增大躍變?yōu)閺澢鷳?yīng)力，截面因抗彎能力不夠而不能維持原有幾何形狀。

當(dāng)結(jié)構(gòu)的抗彎截面尺寸較小時(shí)，如細(xì)長(zhǎng)的大柔度桿，薄壁圓筒等，失穩(wěn)時(shí)截面的壓應(yīng)力往往低于材料的彈性極限，這種失穩(wěn)稱為彈性失穩(wěn)。但當(dāng)結(jié)構(gòu)的抗彎截面尺寸較大時(shí)如大柔度桿，壁厚較厚的圓筒，失穩(wěn)時(shí)截面的壓應(yīng)力往往高于材料的彈性極限出現(xiàn)塑性變形，這種失穩(wěn)稱為彈塑性失穩(wěn)。

臨界載荷或臨界壓應(yīng)力的大小首先與抗彎剛度有關(guān)，對(duì)于彈性失穩(wěn)，彈性模量越大，抗彎剛度越大，抗彈性失穩(wěn)能力越強(qiáng)。

2.2 特征值屈曲分析

特征值屈曲分析預(yù)測(cè)了理想彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度。該方法與教科書中的彈性屈曲分析方法相一致。歐拉柱的特征值屈曲分析與經(jīng)典歐拉解相匹配。缺陷和非線性行為阻礙了大多數(shù)現(xiàn)實(shí)世界結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)其理論彈性屈曲強(qiáng)度。因此，特征值屈曲通常產(chǎn)生非保守結(jié)果，因?yàn)樗鼪]有考慮到這些影響。

雖然特征值屈曲分析是非保守的，但與非線性屈曲解決方案相比，它具有計(jì)算成本低的優(yōu)點(diǎn)，并且可以提供近似的(盡管是非保守的)屈曲條件預(yù)測(cè)。下圖為屈曲的加載曲線(線性和非線性)。

圖1 屈曲加載曲線(線性和非線性)

在特征值屈曲分析中，求解以下特征值問題，得到屈曲載荷乘子λi和屈曲模態(tài)ψi。在該解中，假設(shè)[K]和[S]矩陣為常數(shù)，即解是線性的。

其中，{ψi}為特征向量—屈曲模態(tài)；[S]為預(yù)應(yīng)力剛度矩陣；λi為載荷乘子；[K]為結(jié)構(gòu)剛度矩陣。

注意事項(xiàng)：

1）需要施加載荷，進(jìn)行預(yù)應(yīng)力計(jì)算，得到預(yù)應(yīng)力剛度矩陣。

2）求矩陣的特征值，獲取使行列式值為零的載荷乘子，即可得到臨界載荷。

2.3 壓桿穩(wěn)定理論解

對(duì)于大柔度壓桿，通常臨界壓應(yīng)力小于彈性極限，發(fā)生彈性失穩(wěn)。屈曲載荷可用歐拉公式求解。

，

μ—支撐系數(shù)，兩端簡(jiǎn)支時(shí)取1.0；兩端固支時(shí)取0.5；一端固支一端簡(jiǎn)支時(shí)取0.707。

3.壓桿特征值屈曲分析案例

3.1 問題描述

圖2為固定管板式換熱器，換熱管管束與殼程筒體均與兩端管板固定式連接。由于管程與殼程介質(zhì)溫度不同，換熱管束與殼程筒體自由熱變形不同，變形協(xié)調(diào)使自由熱膨脹量大的受壓，自由熱膨脹量小的受拉。當(dāng)管程溫度高、殼程溫度低時(shí)，換熱管軸向受壓，殼程筒體軸向受拉。對(duì)于換熱管而言，與管板連接位置可以認(rèn)為是固支、與折流板接觸位置可以認(rèn)為是簡(jiǎn)支。

換熱管尺寸為Φ25×2.5, a=800 mm，b=850 mm，c=500 mm，材料為S30408，彈性模量為2×105MPa，泊松比為0.3，求不同位置換熱管的臨界壓應(yīng)力。

圖2 換熱器結(jié)構(gòu)圖

該受力問題可以簡(jiǎn)化為如下有限元分析模型：

1）采用梁?jiǎn)卧?/p>

2）固定端，約束所有自由度；簡(jiǎn)支約束垂直軸線的位移以及繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)。

3）兩端均簡(jiǎn)支時(shí)一端約束軸向位移。

4）非軸向位移約束端施加軸向應(yīng)力1 MPa的的集中力。(Fy=Π(Do²-Di²)/4)

下文通過(guò)PERA SIM Mechanical的屈曲分析模塊完成壓桿特征值屈曲分析，并將結(jié)果與某國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)有限元軟件進(jìn)行對(duì)比。(以a=800mm為例)

3.2 PERA SIM結(jié)構(gòu)有限元模塊

打開PERA SIM Space工作臺(tái)，進(jìn)入軟件啟動(dòng)界面。模型類型支持結(jié)構(gòu)、電磁、聲學(xué)等三大物理場(chǎng)，選擇結(jié)構(gòu)特征值屈曲分析，并創(chuàng)建新的模型。

圖3 啟動(dòng)界面

3.3 壓桿幾何模型建立

PERA SIM提供了豐富的幾何建模功能，可以完成線體、面體以及實(shí)體的幾何建模。通過(guò)草圖編輯、幾何編輯等操作，可迅速完成壓桿(線體)的建模。

圖4 壓桿幾何模型

3.4 網(wǎng)格剖分

PERA SIM提供了豐富的網(wǎng)格剖分功能，對(duì)于壓桿模型，通過(guò)控制網(wǎng)格尺寸(25mm)，即可完成線體網(wǎng)格劃分，即生成梁?jiǎn)卧?/p>

3.5 材料創(chuàng)建

從材料庫(kù)中選擇結(jié)構(gòu)鋼材料，線彈性材料參數(shù)如下，楊氏模量：2E5，泊松比：0.3。完成材料創(chuàng)建。(圖5)

圖5 創(chuàng)建材料

3.6 截面定義

依次點(diǎn)擊菜單欄>屬性>創(chuàng)建截面，彈出對(duì)話框，類別選擇梁，單元行為選擇歐拉梁，接著點(diǎn)擊輪廓右側(cè)按鈕，彈出橫截面設(shè)置界面，設(shè)置形狀：空心圓心，接著輸入r=12.5mm，t=2mm，點(diǎn)擊確定，完成橫截面的創(chuàng)建。

圖6 創(chuàng)建截面

3.7 屬性賦值

屬性賦值模塊的功能是將所定義的材料及截面賦給特定的體。

圖7 屬性賦值

3.8 邊界定義

設(shè)置線體兩端節(jié)點(diǎn)為不同的邊界條件。左側(cè)節(jié)點(diǎn)，設(shè)置固定約束。右側(cè)節(jié)點(diǎn)，設(shè)置平移/旋轉(zhuǎn)uy= uz = 0。

圖8 邊界條件添加

3.9 載荷定義

定義載荷為集中力，選擇右側(cè)節(jié)點(diǎn)，設(shè)置FY=-144.5N，完成載荷的設(shè)置。

圖9 載荷添加

3.10 計(jì)算結(jié)果分析

提交計(jì)算后，得到屈曲載荷乘子(1階)415.751。屈曲模態(tài)(1階)見圖10。

圖10 屈曲載荷乘子及屈曲模態(tài)(1階)(PERA SIM結(jié)果)

圖11為通過(guò)某國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)有限元軟件計(jì)算得到的屈曲載荷乘子及屈曲模態(tài)(1階)，屈曲載荷乘子(1階)415.448。這與PERA SIM計(jì)算結(jié)果非常接近。

圖11 屈曲載荷乘子及屈曲模態(tài)(1階)(標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)軟件結(jié)果)

3.11 不同壓桿長(zhǎng)度下的計(jì)算結(jié)果

考慮壓桿長(zhǎng)度L = 800、850、500mm下有限元特征值屈曲分析結(jié)果(包含PERA SIM、標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)軟件以及理論解)見表1。

表1 屈曲載荷乘子結(jié)果

由上面結(jié)果可知，PERA SIM計(jì)算結(jié)果與某國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)有限元軟件結(jié)果對(duì)標(biāo)，屈曲載荷乘子誤差普遍較小(1.5%以內(nèi))。因此，PERA SIM的計(jì)算可靠性可以保證。

4.結(jié)論

本文基于安世亞太自主結(jié)構(gòu)有限元軟件PERA SIM Mechanical屈曲分析模塊計(jì)算壓桿特征值屈曲，實(shí)現(xiàn)了幾何建模、網(wǎng)格劃分、材料賦予、載荷及邊界條件設(shè)置、特征值求解到結(jié)果后處理的完整分析流程。同時(shí)，在相同的邊界和求解參數(shù)的條件下，與某國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)有限元軟件計(jì)算結(jié)果對(duì)比，發(fā)現(xiàn)PERA SIM的臨界載荷的誤差普遍較小(1.5%以內(nèi))，能保證較高的計(jì)算精度。

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